domingo, 21 de agosto de 2011

PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS NÚMEROS REALES

EN LA ADICIÓN:
a.-) Propiedad conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma. Es decir, si a y b son los números reales, entonces = a + b = b + a
b.-) Propiedad asociativa: la forma de agrupar los sumandos no altera la suma. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
c.-) Existencia de elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real cero (0) es el elemento identidad o neutro para la adición porque la suma de cualquier número a y 0 es 0. es decir, si a es un número real, entonces: a + 0 = 0 + a = a.
*Propiedad de Identidad: La suma de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.
12 + 0 = 12
d.-) Existencia de elementos simétricos opuestos: para cualquier número real existe otro número real –a, llamado opuesto de a, tal que: a + (-a) = 0. Así: la suma de un número real y su opuesto es igual a cero (0), el elemento identidad o neutro para la adición. Por ejemplo: –√2 = –(–√2) = √2.

EN LA SUSTRACCIÓN:
a.-)  Si a y b son números reales, entonces su diferencia a- b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la sustracción.
b.-) La sustracción de números Reales no es conmutativa. Observa la localización de 3 – √2 y √2 – 3 en la recta real.
c.-) La sustracción de números reales no es asociativa. Observa:
(3·√2 – √2) – 3·√2 = 2·√2 = 3·√2 – 3·√2 = – √2
3·√2 – (√2 – 3·√2) = 3·√2 – (–2·√2) = 5·√2
como – √2 ¹ 5·√2 , entonces
(3·√2 – √2) – 3·√2 ¹ 3·√2 – (√2 – 3·√2)
d.-) El número real cero (0) es un elemento identidad o neutro por la derecha para la sustracción. Observa que la diferencia de cualquier número a menos 0 es igual al numero a: √2 – 0 = √2; p - 0 = p ; (3·√2 – √2) – 0 = (3·√2 – √2). Pero cero no es elemento identidad o neutro por la izquierda. En efecto, 0 – a ¹ a; 0 – 2 ¹ 2, 0 - √3 ¹ √3.

EN LA MULTIPLICACIÓN:
a.-) si a y b son números reales, entonces su producto a·b es un número real. Por satisfacer esta propiedad, se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la multiplicación.
b.-) Propiedad conmutativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b = b·a.
c.-) Propiedad asociativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b·c = (a·b)·c = a·(b·c)
d.-) Existencia de elemento identidad o elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real uno (1) es el elemento identidad o neutro para la multiplicación porque el producto de cualquier número a por 1 es a. Es decir, si a es un número real, entonces: a·1 = 1·a = a.
e.-) Existencia de elemento simétrico o inverso: para cualquier número real no nulo a, existe otro número real 1/a = a-1, llamamos inverso de a tal que: a · 1 / a = 1 ó a · a-1 = 1.
f.-) Propiedad distributiva con respecto a la adición: así, multiplicar un número real por una suma indicada de números por cada uno de los sumandos y luego sumar los productos obtenidos. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces:
(a + b)·c = a·c + b·c
a·c + b·c = (a +b)·c
g.-) Factor cero: todo número multiplicado por cero da cero. Es decir, si a es un número real entonces: a·0 = 0; 3·0 = 0; 5·0 = 0, 375·0 = 0, (-4)·0 = 0.
e.-)Propiedad de Identidad: El producto de cualquier número y uno da como resultado ese mismo número. 18 x 1 = 18

EN LA DIVISIÓN:
a.-) si a y b son números reales, con b no nulo (b ¹ 0), entonces su cociente a / b ó a ¸ b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la división, con divisor no nulo.
b.-) La división de números reales no es conmutativa. Observe que: 8 ¸ 2 ¹ 2 ¸ 8.
c.-) La división de números reales no es asociativa: observa que:
(16 ¸ 4) ¸ 2 = 4 ¸ 2 = 2
16 ¸ (4 ¸ 2) = 16 ¸ 2 = 8
y como 2 ¹ 8 entonces: (16 ¸ 4) ¸ 2 ¹ 16 ¸ (4 ¸ 2)
d.-) El número real uno (1) es elemento identidad por la derecha para la división. Observa que el cociente de cualquier número real “a entre 1” es igual al número a: a ¸ 1 = a
pero 1 no es elemento identidad por la izquierda:
e.-) El divisor en una división siempre debe se diferente de cero.


*Información obtenida de:

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