FUNCIONES ALGEBRAICAS

OPERATORIA ALGEBRAICA


1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES

Un término algebraico es una expresión formada por un signo (+ ó -), un coeficiente numérico y coeficientes literales con sus respectivos exponentes. Ejemplos de términos algebraicos son: 3x², -2ab²c, - 9xy², etc. Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal con sus respectivos exponentes. Por ejemplo: -2a²b y 5a²b. Los términos semejantes se pueden reducir sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo:

-2a²b + 5a²b = 3a²b

10x²z³ –22x²z³ = -12x²z³

Si los términos no son semejantes, no se pueden reducir. Por ejemplo:
La expresión 12a²b + 13ab²
1.2 ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS

Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas:

(1) Si aparece un signo “+” (o ningún signo) delante de un paréntesis , se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que contiene.

(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis y se cambian los signos de todos los términos que contiene.

Ejemplo: 2ab – (a + ab) + (3a – 4ab)

Aplicando las reglas anteriores, tenemos:

2ab – a – ab + 3a - 4ab

y reduciendo términos semejantes. Tenemos:

-3ab + 2a

1.3 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Multiplicación de monomios: Por una parte se multiplican los coeficientes entre sí y por otra los factores literales entre sí. Aplicando las reglas de la multiplicación de potencias de igual base.

Ejemplo:

2x²y³ z ^. 4x⁴y² = 2 ^. 4 ^. x^{2 .} x^4 . y^{3 .} y^{2 .} z = 8x⁶y⁵z

Multiplicación de monomio por polinomio: Se aplica la propiedad distributiva, es decir, “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.

Ejemplo:

2ab (3a - ab² + 4b²c²) = 2ab ^. 3a - 2ab ^. ab² + 2ab ^. 4b²c² =
6a²b – 2a²b³ + 8ab³c²

Multiplicación de binomio por binomio: se multiplica cada término del primer binomio con cada término del segundo binomio.

Ejemplo:

(2a - 3b²c) (4a² + 5ab³) = 2a ^. 4a² + 2a ^. 5ab³ – 3b²c ^. 4a² – 3b²c ^. 5ab³ =
8a³ + 10 a²b³ – 12 a²b²c – 15 ab⁵c

Multiplicación de polinomio por polinomio: Al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo polinomio. Ejemplo: 

(2x – 3y + 4z²). (5x + 2xy + 4xz²) =
2x ^. 5x + 2x ^. 2xy + 2x ^. 4xz² – 3y ^. 5x – 3y ^. 2xy – 3y ^. 4xz² + 4z^2 . 5x + 4z^2 . 2xy + 4z^2 . 4xz²= 10x² + 4x²y + 8x²z² – 15xy – 6xy² – 12xyz² + 20xz² + 8xyz² + 16xz⁴

1.4 PRODUCTOS NOTABLES

Son productos de expresiones algebraicas que, dada la frecuencia con que aparecen, es conveniente memorizarlos para poder aplicarlos más rápidamente.

Suma por su diferencia:
(a + b) (a – b) = a² – b²
Cuadrado de binomio:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Multiplicación de binomios con término común:
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab



1.5 FACTORIZACIÓN
Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones y corresponde al procedimiento inverso de la distributividad. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:
Factor común
Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo:

15x²y²z³ – 5xy³z² + 10x⁴y⁴z³

Aquí el factor común es: 5xy²z², por lo tanto, la expresión dada se puede escribir de la forma:
 5xy²z² (3xz – y + 2x³y²z), lo que corresponde a su factorización.
Diferencia de cuadrados
Toda diferencia de "cuadrados perfectos" se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases, es decir.
a² – b² = (a + b) (a – b)
Ejemplo: 25a² – 16b⁴
Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b² :
Por lo tanto: (5a)² – (4b²)² = (5a + 4b²) (5a - 4b²)
Factorización de trinomio cuadrático perfecto
Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, la factorización de:
a² + 2ab + b²  es  (a + b)²
Ejemplo: 16x² – 24xy + 9y²
En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x² = (4x)² y 9y² = (3y)², por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:
(4x - 3y)² .Si se desarrolla esta expresión se constata que coincide con la expresión dada.
Factorización de trinomio cuadrático no perfecto
Aquí se presentan dos sub casos:
Caso en que el coeficiente cuadrático es 1
Utilizando la fórmula del “producto de binomios con término común”, vista más arriba, podemos factorizar una expresión del tipo: x² + px + q

Ejemplo: x² – 10x + 24

Este trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son dos números tales que a + b = -10 y ab = 24. Estos números son: -4 y -6, por lo tanto:

x² – 10x + 24 = (x – 4)(x - 6)

Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1
Para poder factorizar trinomios de este tipo, amplificaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático. Ejemplo 2x² + 7x - 15

El numerador de esta fracción se puede factorizar de la forma (2x + a)(2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = -30. Estos números son: 10 y -3

Suma y diferencia de cubos

Ejemplo 1. Factorizar el binomio  8x³ + 27.
Solución. 8x³ equivale a (2x)³  y 27 es 3³, por lo tanto:
8x³ + 27 = (2x)³ + 3³
Aplicando la primera fórmula, se tiene:
 (2x)³ + 3³ = (2x + 3)((2x)² – 2x • 3 + 3²)
                 =  (2x + 3)(4x² – 6x + 9)
Ejemplo 2. Factorizar el binomio  125z³ – 64y⁶
Solución. La expresión 125z³ es el cubo de 5z  y  64y⁶ es el cubo de  4y², por lo tanto:
125z³ – 64y⁶ = (5z)³ – (4y²)³
Aplicando la segunda fórmula se tiene:
(5z)³ – (4y²)³ = (5z – 4y²)(25z² + 20y²z + 16y⁴)