Revisar la gráfica de una función cuadrática de la forma
f (x) = ax 2 + bx + c
tiene un vértice en el punto (h, k), donde H y K están dadas por
h = -b/2a
y k = c - b 2 / 4a
Asimismo, k = f (h).
Si a> 0, el vértice es un punto mínimo y el valor mínimo de la función cuadrática f es igual a k. Este valor mínimo se produce en x = h = -b/2a. Si a <0, el vértice es un punto máximo y el valor máximo de la función cuadrática f es igual a k. Este valor máximo se produce en x = h = -b/2a.
Ejemplo - Problema 1: El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada por.
P (x) = 5000 + 1000x - 5x 2
donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad.
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Encuentre la cantidad, x, que la empresa tiene que pasar para maximizar su beneficio.
- Encuentra el máximo beneficio Pmax.
Solución del Problema 1:
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P Función que le da el beneficio es una función cuadrática con el coeficiente líder de -5 =. Esta función (sin fines de lucro) tiene un valor máximo en x = h = -b/2a
x = H = -1000 / 2 (-5) = 100
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La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en publicidad, está dada por el valor máximo de la función P
k = c - b 2 / 4a
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La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en la publicidad, también está dada por P (h = 100)
P (100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) 2 = 55000.
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Cuando la empresa gasta 100 mil dólares en publicidad, el beneficio es máximo y es igual a 55.000 dólares.
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Abajo se muestra la gráfica de P (x), observe el punto máximo, el vértice, en (100, 55000).
Ejemplo - Problema 2: Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de los Vo pies / seg. Su distancia S (t), en los pies, por encima del suelo está dada por
S (t) = -16t 2 + v o t
Buscar Vo de manera que el punto más alto que el objeto puede alcanzar es de 300 pies sobre el suelo.
Solución del Problema 2:
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S (t) es una función cuadrática y el valor máximo de S (t) es dada por
k = c - b 2 / 4a = 0 - (Vo) 2 / 4 (-16)
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Este valor máximo de S (t) tiene que ser de 300 pies para que el objeto de llegar a una distancia máxima desde el suelo de 300 pies.
- (Vo) 2 / 4 (-16) = 300
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ahora resolvemos - (Vo) 2 / 4 (-16) = 300
V o = 64 * 300 = 80sqrt (3) pies / seg.
La gráfica de S (t) para V o = 64 * 300 = 80sqrt (3) pies / seg se muestra a continuación.
Más referencias y enlaces sobre las funciones de segundo grado en este sitio web.
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