Introducción

La curva de Koch

La curva de Peano

La curva de Hilbert

Conjunto de Cantor

Triángulo de Sierpinski

Alfombra de Sierpinski

Esponja de Sierpinski-Menger

Conjunto de Mandelbrot

 

Curva de Koch

Acabo de terminar de leer Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión, del célebre matemático Benoît Mandelbrot (Les objects fractals. Forme, hasard et dimension, en su original francés). En realidad, se trata de una relectura. Lo leí por primera vez cuando preparé el temario de las oposiciones a Secundaria -¡hace ya más de 20 años!-. Y confieso que esta vez lo he disfrutado mucho más. Naturalmente, es una lectura que recomiendo vivamente para todo aquel que quiera acercarse al maravilloso mundo de esos objetos que el propio Mandelbrot bautizó como fractales.

Mandelbrot (1924-2010) ha sido un célebre matemático, polaco de nacimiento, de origen judío, y naturalizado norteamericano, país en el que trabajó las últimas décadas de su vida. Él mismo se consideraba, con razón, padre de los fractales, y este libro sería entonces una especie de “Biblia” de esta disciplina.

La teoría sobre objetos fractales fue concebida por él a comienzos de la década de los 60 del pasado siglo. Este libro se publicó en 1975, y en él enuncia la mayoría de las ideas esenciales sobre fractales que luego se desarrollarían de forma explosiva en los años siguientes. Fue posteriormente revisado por el autor en 1984. Como se indica en el prólogo, se trata de una obra de divulgación al alcance de los no eruditos.

En el prólogo el autor admite, con modestia, ser considerado el “padre de la geometría fractal”, si bien utilizó ideas de matemáticos muy anteriores, como la curva de Koch (ver figura izquierda) o de Peano, o la dimensión de Hausdorff. De todos estos conceptos hablaré más adelante.

Otra obra recomendada del mismo autor es La geometría fractal de la naturaleza, 1982.

En este libro, y más allá de su belleza intrínseca, el autor defiende la utilidad de los fractales –de fractus, ininterrumpido o irregular-, que no caben ser considerados como “esotéricos o inutilizables”, ya que están presentes en amplios ámbitos de la naturaleza, dado que ésta es caótica y está mal representada por el orden perfecto de las formas usuales de Euclides o del cálculo diferencial.

Pero, ¿qué es un fractal? Voy a intentar explicarlo, con ayuda del bueno de Mandelbrot. A fines del siglo XIX y en los inicios del XX ya se conocían unas cuántas curvas dotadas de propiedades "chocantes", y que podían ser catalogadas como "monstruos" de la geometría. Nos estamos refiriendo a la curva de Peano (1890) o la de Koch (1904), o el conjunto de Cantor (1884). Sus paradójicas propiedades no pasaban, a ojos de los matemáticos de la época, del terreno de la curiosidad. De todas ellas hablaré más adelante. Pero lo importante ahora es ver que Mandelbrot, en la década de los 60 del pasado siglo, advirtió genialmente que todos estos entes matemáticos compartían una misma propiedad, a la que bautizó como fractal. Precisamente la definición que él da en su libro es la siguiente:

Fractal (adj.): Que tiene una forma, bien sea sumamente interrumpida o fragmentada, y sigue siendo así a cualquier escala que se produzca el examen.

Es decir, la clave es que en un fractal existen formas o propiedades que se van autoreplicando a medida que vamos variando la escala. Veamos esto para el ejemplo concreto de la curva de Koch:

En el gráfico de la izquierda observamos que, si aumentamos una parte cualquiera de la curva de Koch, volvemos a obtener la misma construcción. Y esto ocurrirá ad infinitum. Este hecho se conoce como homotecia interna, es decir, sus partes, por pequeñas que sean, serán siempre similares al total. Se entenderá mejor cuando se explique, más adelante, el proceso de construcción de dicha curva.

Esta idea de autosimilaridad, es decir, que cualquier parte del objeto, por pequeña que sea, contiene la información del todo, es una de las características de los fractales.

Además, Mandelbrot tuvo la genial intuición de descubrir la presencia de los fractales en gran número de fenómenos de la naturaleza. Sin ir más lejos, la curva de Koch da cuenta de la forma de un copo de nieve, o de ciertas líneas de costa.

Vamos a describir, a continuación, algunos de los "monstruos" matemáticos ya citados, y otros más, haciendo hincapié en sus sorprendentes propiedades, y en su presencia en la naturaleza. O incluso en la realidad cotidiana: Michael Barnsley (1972-  ) aplicó unas transformaciones afines a ciertas estructuras fractales y resolvió de paso un problema de redundancia que posibilitó, nada menos, que la compresión de una película en un solo DVD...

LA CURVA DE KOCH 

Historia: Es una curva fractal ideada por el sueco Von Koch en 1904.

Propiedades:

• Es una curva continua y cerrada que no es derivable en ningún punto.

• A pesar de encerrar un área finita (es fácil ver que está inscrita en un hexágono regular), es de perímetro infinito (como veremos más abajo).

• Dados puntos cualesquiera, la longitud del arco entre ellos es infinita.

Helge Von Koch (1870-1924)

Construcción: Partimos de un triángulo equilátero de lado 1 (caso n=0), cada uno de cuyos lados dividimos en tres partes iguales. A continuación, disponemos en cada tercio central un triángulo equilátero de lado 1/3, obteniéndose así un hexágono regular estrellado (caso n=1). Seguidamente, volvemos a repetir el mismo proceso en cada uno de sus 12 lados (caso n=2), y así sucesivamente, obteniéndose en el límite la curva de Koch.

Es inmediato observar que el perímetro de tal curva viene dado por la siguiente fórmula, por lo que tenderá a hacerse cada vez más grande:

Por otra parte, puede probarse que el área de la curva de Koch tiende a ser 8/5 del área del triángulo inicial, es decir, como ya hemos comentado, ocupa un área finita.

En el siguiente enlace puede accederse a un interesante applet sobre el proceso de construcción de la curva de Koch:

http://www.dma.fi.upm.es/java/geometriafractal/clasicos-I/app_koch.html

Presencia en la naturaleza:

• La curva de Koch describe la irregularidad de las costas.

• La curva de Koch puede servir también como modelo de un copo de nieve.

LA CURVA DE PEANO 

Historia: Es una curva fractal ideada por el italiano Peano en 1890.

Propiedades:

• Es una curva continua.

• No tiene puntos de cruce, es decir, no pasa dos veces por el mismo punto.

• Es una curva que llena un cuadrado.

• Fue  el primer caso de curva que rellenaba un espacio. Esto es precisamente lo que intrigaba a los matemáticos: ¿Cómo una curva unidimensional podía ocupar un espacio bidimensional? Esto lo aclararemos más adelante, cuando hablemos de la dimensión fractal...

Giuseppe Peano (1858-1932)

Construcción: La primera aproximación sería un intervalo de longitud 1. La segunda sería el diagrama A, que incluye tres tercios del intervalo inicial, y añade seis intervalos de longitud 1/3, que, unidos al tercio central del intervalo inicial, forman un ocho en doble cuadrado. El diagrama B muestra un cuadrado, y el C lo que ocurre si el generador se sitúa sobre cada lado del cuadrado. El diagrama D separa los puntos dobles del diagrama anterior. Las aproximaciones 3ª y 4ª -diagramas  E y F- sustituyen los tercios centrales de cada segmento de la aproximación anterior por un ocho cuadrado, separando de nuevo los puntos dobles. Y así sucesivamente...

Una observación: como veremos más adelante, si queremos hablar de homotecia interna, debemos evitar los puntos dobles.  

En el límite, se obtendría la curva de Peano, de la que obviamente sólo podemos dar una aproximación:

Presencia en la naturaleza:

• Una molécula de ADN, que en su total extensión puede llegar hasta los dos metros, puede empaquetarse en las pequeñas dimensiones del núcleo de una célula eucariota, de solamente unas micras. Pues bien, El ADN en realidad no se pliega como un ovillo sin forma en el núcleo, sino que se acerca a un patrón regular y matemático, que es precisamente la curva de Peano.

• La curva de Peano describe, además, ciertos retículos de plantas.

• La curva de Peano puede servir también para describir redes fluviales, e incluso cortes cerebrales.

LA CURVA DE HILBERT 

Historia: Es una variación de la curva de Peano ideada por el alemán Hilbert un año después, en 1892.

Propiedades:

• Son las mismas que las de la curva de Peano: es una curva continua, que también rellena un espacio.

David Hilbert (1862-1943)

Paso 1

Construcción:

Es un proceso más sencillo que en el caso de la curva de Peano. En las sucesivas figuras de la izquierda podemos seguir el proceso iterativo, partiendo de un cuadrado unidad, que dividimos en cuatro partes iguales. A continuación, unimos los centros de cada uno de los cuatro sub-cuadrados, como muestra la línea azul (Paso 1).

En la siguiente iteración, de nuevo dividimos cada cuadrado en otros cuatro iguales, y unimos otra vez sus centros, como muestra la figura del paso 2.

A continuación, volvemos a repetir el mismo proceso, según indica el paso 3. Y así sucesivamente. En el límite, obtendremos la curva de Hilbert. He aquí una muestra de este proceso iterativo, hasta el paso 8:

Paso 2

Paso 3

EL CONJUNTO DE CANTOR  

Historia: Es un conjunto fractal ideado por el alemán George Cantor en 1883.

Propiedades:

• Es un conjunto que tiene el mismo cardinal que IR, si bien tiene medida nula. ¡Curioso!

• Puede demostrarse algo que también resultó en un principio paradójico a los matemáticos: el conjunto de Cantor está en biyección con el segmento [0, 1], es decir, tiene tantos elementos como él.

Georg Cantor (1845-1918)

Construcción:

Se trata de un subconjunto fractal del intervalo real [0, 1], que se obtiene iterativamente eliminando en cada paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo. Nótese que hemos remarcado que eliminamos el intervalo abierto (es decir, se excluyen los extremos), lo cual tendrá importantes consecuencias, como veremos más adelante.

El conjunto de Cantor es el conjunto de los puntos que permanecen al proceder así. Mandelbrot lo llama "Polvo de Cantor". En efecto, es como un polvo, que se desvanece progresivamente hasta hacerse invisible, aunque su longitud ¡es distinta de cero!. Vamos a probar esto último:

Para ello, vamos a calcular la longitud total de los intervalos que hemos ido eliminando sucesivamente. Es fácil ver que se trata de la siguiente suma infinita:  

 

Si extraemos factor común 1/3, nos queda:  

 

El paréntesis contiene la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica, de 1^er término 1 y razón 2/3. Recordemos que la suma de los términos de una tal progresión venía dada por a₀/1-r, con lo cual:

 

¡Sorprendente!, pues, entonces, ¿después de borrar tanto intervalo, nos queda "algo" o no? Tenemos que volver a recordar que los intervalos borrados eran abiertos, y que nos quedamos con los cerrados. Es decir: cuando borramos el intervalo (1/3, 2/3) se salvan de la quema los puntos 1/3 y 2/3, es decir, los extremos del intervalo borrado. Así que los extremos de los intervalos nunca son eliminados. Podemos concluir  que el conjunto de Cantor no está vacío. Tenemos puntos como 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, ... que pertenecen al mismo. ¿Hay más puntos? La intuición nos dice que no. Pero un análisis más pausado la contradice. Por ejemplo, puede probarse que 1/4 pertenece al conjunto de Cantor...

Presencia en la naturaleza:

• Mandelbrot relaciona el conjunto de Cantor con los errores en las líneas de telecomunicación, ya que éstos se sabe que están agrupados en ráfagas (algo parecido a lo que ocurre con los puntos del conjunto de Cantor, pero no tan ordenado...).

Si en lugar de eliminar en cada paso la tercera parte central planteamos otras alternativas, obtenemos otros fractales homeomorfos al conjunto de Cantor (homeomorfos quiere decir que se puede establecer una biyección entre ambos). Pero, previamente, hay que indicar que los fractales se pueden dividir en dos tipos:

• Fractales deterministas: Aquellos en los que el azar no juega ningún papel en su construcción. Todos los fractales vistos hasta ahora (Koch, Peano, Cantor...) son de este tipo.

• Fractales aleatorios: Son modelos originados por el azar.

Pues bien, una variable aleatoria del "Polvo de Cantor" es lo que Mandelbrot llama "Polvo de Lévy"-en honor de quien consideraba su maestro, el matemático francés Paul Levy (1886-1971)-, en el que las longitudes y las posiciones de los "mordiscos" se hacen de manera aleatoria, de forma que incluso pueden solaparse o ser virtuales (Es decir, morder sobre otro mordisco). Los mordiscos dejan indefinidamente sin cubrir un conjunto muy tenue, que es resulta ser precisamente el polvo de Lévy.

TRIÁNGULO DE SIERPINSKI 

Historia: Es un fractal concebido por el matemático polaco Sierpinski en 1915.

Propiedades:

• La superficie de la zona que queda en negro es nula.

• Si se interseca el triángulo de Sierpinski con una recta paralela a uno de sus lados, se obtiene una figura parecida al conjunto de Cantor.

 

Waclaw Sierpinski (1882-1969)

Construcción: Partimos (paso n=0) de  un triángulo equilátero de lado 1. Seguidamente (paso n=1) tomamos los puntos medios de cada lado y recortamos a partir de ellos el triángulo equilátero invertido blanco de lado 1/2.  Repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos negros de lado 1/2 que nos quedaban (paso n=2), es decir, recortamos esta vez tres triángulos invertidos blancos de lado 1/4. En la siguiente animación podemos ver hasta cinco iteraciones sucesivas.

Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos la figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.

Es muy importante remarcar que cada triángulo recortado es un conjunto abierto, es decir, se excluyen de él los puntos que forman su contorno. Por lo tanto, lo que queda es un conjunto cerrado. Recordemos que esta es la misma tónica que seguimos en la construcción del conjunto de Cantor. Estos "agujeros" son una característica muy importante del triángulo de Sierpinski.

Está claro que el área del triángulo de Sierpinski (es decir, de la zona que queda en negro) es cero -según la medida de Lebesgue-, ya que el área que queda (en negro) tras cada iteración es 3/4 del área previa, por lo que, tras un número infinito de iteraciones, tenderá a cero.

En la figura inferior puede observarse la misma construcción en tres dimensiones.

Una observación: Este triángulo canónico de Sierpinski se ha construido a partir de un triángulo equilátero de lado 1. Ahora bien, se puede construir a partir de cualquier triángulo.

Es más, este proceso infinito no depende de que la figura inicial sea estrictamente un triángulo. Si comenzamos con, pongamos un cuadrado, ¡también obtendremos, tarde o temprano, un triángulo de Sierpinski!:

Presencia en el arte y la técnica:

• En ingeniería, un ejemplo reciente son las antenas fractales. Muchas antenas están compuestas por una distribución de pequeñas antenas. Si la distribución es regular, la antena presenta alto rendimiento y si es aleatoria ofrece robustez. Parece ser que un diseño fractal del estilo del triángulo de Sierpinski combina ambas propiedades. En el caso de  un solo hilo, siguiendo una forma fractal, al doblar se consigue empaquetar más hilo en el mismo espacio y la forma dentada genera capacitancia e inductancia extra. 

• Patrones similares al triángulo de Sierpinski aparecen ya en ciertos mosaicos del siglo XIII de la catedral de Anagni, en Italia.

ALFOMBRA DE SIERPINSKI 

Historia: Es un conjunto fractal ideado también por Sierpinski, en 1916. Se trata de una generalización a dos dimensiones del conjunto de fractal. Por lo tanto, comparte muchas de sus propiedades:

Propiedades:

• También es un conjunto de medida nula.

• Si se interseca la alfombra de Sierpinski con una recta paralela a uno de sus lados, se obtiene el conjunto de Cantor.

Construcción: Al igual que el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski se construye de forma recursiva:

• Comenzamos con un cuadrado (paso n=0).

• El cuadrado se corta en 9 cuadrados congruentes, y eliminamos el cuadrado negro central (n=1).

• El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamente a cada uno de los 8 cuadrados restantes (n=2).

La alfombra de Sierpinski es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones:

ESPONJA DE SIERPINSKI-MENGER 

Historia: Es un fractal concebido por el matemático austriaco Karl Menger en 1926. También se llama Cubo de Sierpinski-Menger. Es una generalización tridimensional del conjunto de Cantor. Por tanto, también comparte muchas de sus propiedades.

Propiedades:

• Es también un conjunto de medida nula.

• Si se interseca la esponja de Sierpinski-Menger con un plano paralelo a una de sus caras, se obtiene la alfombra de Sierpinski.

• Es de destacar su propiedad de curva universal: es un conjunto topológico de dimensión topológica uno, y cualquier otra curva es homeomorfa a un subconjunto de la esponja de Menger.

Karl Menger (1902-1985)

Construcción: Al igual que la alfombra de Sierpinski, la esponja de Menger se construye de forma recursiva:

• Comenzamos con un cubo (paso n=0).

• Dividimos cada cara del cubo en 9 cuadrados. Esto subdivide el cubo en 27 cubos más pequeños, como le sucede al cubo de Rubik (n=1), y eliminamos los 6 cubos centrales de cada cara y el cubo central, dejando solamente 20 cubos.

• El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamente a cada uno de los 20 cubos restantes (n=2).

La esponja de Menger es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones:

CONJUNTO DE MANDELBROT 

Historia: Es un fractal concebido por el matemático francés Benoît Mandelbrot alrededor de 1975.

Propiedades:

• Es un conjunto conexo, lo cual significa que no está contenido en la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos. En otras palabras, si se divide en dos partes contenidas en sendos conjuntos abiertos, estos abiertos necesariamente se cortan.

• También, es un conjunto compacto, esto es, cerrado y acotado.

• Además, su frontera tiene dimensión topológica 1, pero su dimensión de Hausdorff es 2, es decir, la máxima posible, dado que es un subconjunto del plano. Sobre esto de la dimensión hablaremos más adelante...

Benoît Mandelbrot (1924-2010)

Construcción: A continuación se muestra una representación posible del conjunto de Mandelbrot:

Lo he obtenido, de una forma sencilla, con un programa gratuito, Fraqtive (más abajo hay una serie de enlaces para poder descargar éste y otros más...). El proceso para construir el conjunto de Mandelbrot es iterativo, como ahora veremos. Por eso, resulta muy adecuado para ser dibujado mediante cualquier lenguaje común de programación, tipo Basic o similar. En efecto, este conjunto se define en el plano complejo mediante la siguiente sucesión recurrente:

donde c y z son n^os complejos, de modo que z es una variable y c es fijo. Normalmente se acostumbra a tomar el término inicial z₀=0, pero si se parte de otro z₀ se obtendría una versión deformada del conjunto de Mandelbrot. Si esta sucesión queda acotada, entonces se considera que c pertenece al conjunto de Mandelbrot; en caso contrario, se excluye.

Pues bien, como ya hemos dicho arriba, el conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los n^os complejos, c, para los que el tamaño -esto es, el módulo- de z²+c está acotado , es decir, |z²+c| no diverge a infinito. Se puede demostrar que esto se cumple si |z²+c|<2

Vamos ahora a profundizar en la frontera del conjunto de Mandelbrot para poder visualizar la propiedad fundamental de los fractales, que es la autosimilitud. Para ello, seguimos utilizando Fraqtive:

Si ampliamos la región del cuadro azul, ¡obtendremos una réplica exacta del conjunto de Mandelbrot!:

Es muy interesante investigar por nuestra cuenta ampliando otras zonas, y observando como se van autoreplicando las mismas estructuras. Esto puede verse de una forma muy amena mediante un montón de vídeos que pululan por la red. He aquí dos ejemplos:

http://www.youtube.com/watch?v=lITKLYQGEJk

http://www.youtube.com/watch?v=vCqegbCpOk4

Fuentes:   «Los objetos fractales». Mandelbrot, Benoit. Ed. Tusquets, 2006

«Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal». Binimelis, Mª Isabel. Ed. RBA, 2010

«Estructuras fractales y sus aplicaciones».De Guzmán, Miguel. Ed. Labor, 1993

«Geometría fractal». Barallo, Javier. Ed. Anaya Multimedia, 1993

http://es.wikipedia.org